14-MAVZU. ANIQ
INTEGRALNING TADBIQLARI
Reja:
1. Tekis shakl yuzasini hisoblash
2.
Tekis
egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
3.
Aylanish
sirti yuzasini hosoblash
4.
Hajmlarni hisoblash
1. Tekis shakl yuzasini hisoblash
Yuzani
dekart koordinatalarida hisoblash
Aniq integralning geometrik ma’nosiga asosan (29.3-band) abssissalar
o‘qidan yuqorida yotgan, ya’ni yuqoridan 
(
) funksiya
grafigi bilan, quyidan 
o‘q bilan, yon tomonlaridan 
va 
to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri
chiziqli trapetsiyaning yuzasi
(17.1)
integtegralga
teng bo‘ladi[1].
Shu kabi, abssissalar o‘qidan pastda yotgan, ya’ni quyidan (
) funksiya
grafigi bilan, yuqoridan o‘q bilan, yon tomonlaridan va to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri
chiziqli trapetsiyaning yuzasi
(17.2)
integtegralga
teng bo‘ladi.
(17.1) va (17.2)
formulalarni bitta formula bilan umumlashtirish mumkin:
(17.3)
Misol
, 
va 
chiziqlar bilan
chegaralangan tekis shakl yuzasini (17.1)
formula bilan topamiz:
Yuzani hisoblashga oid murakkabroq masalalar yuzaning additivlik xossasiga
asoslangan holda yechiladi. Bunda tekis shakl kesishmaydigan qismlarga
ajratiladi va aniq integralning 
xossasiga
ko‘ra tekis shaklning yuzasi qismlar yuzalarining
yig‘indisiga
teng bo‘ladi.
Misol
va 
chiziqlar bilan
chegaralangan tekis shakl yuzasini hisoblaymiz. Bunda berilgan tekis shaklni
yuzalari 
va 
bo‘lgan kesishmaydigan
qismlarga ajratamiz (6-shakl). U holda yuzaning additivlik xossasiga asosan
berilgan tekis shaklning yuzasi qismlar yuzalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.
Demak,
kesmada ikkita 
va 
uzliksiz funksiyalar berilgan va 
da 
bo‘lsin. Bu funksiyalarning grafiklari va , 
to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan tekis
shaklning yuzasini topamiz.
Har ikkala funksiya musbat bo‘lganda bu tekis shaklning yuzasi yuqoridan va 
funksiyalar garfiklari bilan, quyidan o‘q bilan, yon tomonlardan va to‘g‘ri
chiziqlar bilan chegaralangan
egri chiziqli
trapetsiyalar yuzalarining ayirmasiga teng bo‘ladi:
(17.4)
(17.4)
formula kesmada uzluksiz va musbat bo‘lmagan va
funksiyalar uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
Haqiqatan ham, agar va
funksiyalar kesmada
manfiy qiymatlar
qabul qilsa (bunda 
)
(7-shakl), har bir funksiyaga bir xil
o‘zgarmas
qiymatlar qo‘shish orqali 
va 
funksiyalar grafiglarini o‘qidan yuqorida joylashtirish mumkin
(6-shakl).
8-shakldagi tekis shakl 7-shakldagi
tekis shaklni parallel ko‘chirish orqali hosil qilindi. Shu sababli yuzaning
ko‘chishga nisbatan invariantlik xossasiga ko‘ra bu tekis shakllar teng
yuzalarga ega bo‘ladi.
8-shakldagi yuza uchun (4) formula
o‘rinli, ya’ni
Bundan
Demak, (17.4)
formula 7-shakldagi tekis shakl uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
Ayrim hollarda yuzani hisoblashga oid masalalar yuzaning ko‘chishga nisbatan
invariantlik xossasidan foydalangan holda soddalashtiriladi. Bunda tekis shakl
yuzasi (17.4) formulada 
va 
o‘zgaruvchilar ( va 
o‘qlar) ning
o‘rnini
almashtirish yo‘li bilan hisoblanadi (9-shakl),
ya’ni
. (17.5)
Misollar
1. 
va 
chiziqlar bilan chegaralangan tekis shaklning
yuzasini hisoblaymiz.
Tekis shakl umumiy 
va 
nuqtalarga ega bo‘lgan parabola va to‘g‘ri
chiziq bilan chegaralangan. Tekis shaklni uchta qismga, ya’ni yuzalari 
ga teng bo‘lgan 
va 
parabolik sektorlarga va yuzasi 
ga teng bo‘lgan 
parabolik uchburchakka ajratamiz
(10-shakl).
Bunda (17.1) va (17.4)
formulalarni qo‘llab, topamiz:
Bu yuza o‘zgaruvchi bo‘yicha hisoblanganda tekis
shaklni qismlarga ajratiish shart bo‘lmaydi:
2. 
, 
, 
chiziqlar va ordinatalar o‘qi bilan chegaralangan tekis
shakl yuzasini
hisoblaymiz (11-shakl):
Agar egri chiziqli trapetsiya yuqoridan 
parametrik tenglamalar bilan berilgan funksiya
grafigi bilan chegaralangan bo‘lsa (17.1) formulada 
o‘rniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchi
almashtiriladi.
U holda
(17.6)
bo‘ladi, bu
yerda, 
va 
.
Misol
Radiusi 
ga teng doira yuzasini hisoblaymiz. Buning
uchun koordinatalar boshini doiraning markaziga joylashtiramiz. Bu
doiraning aylanasi 
parametrik tenglamalar bilan aniqlanadi va
doira koordinata o‘qlariga nisbatan simmetrik bo‘ladi. Shu sababli uning
birinchi chorakdagi yuzasini hisoblaymiz ( bunda o‘zgaruvchi 
dan gacha o‘zgarganda 
parametr
dan gacha o‘zgaradi) va natijani to‘rtga ko‘paytiramiz:
2. Tekis egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
Tekislikda
egri chiziq kesmada uzluksiz funksiya grafigi bilan berilgan bo‘lsin. egri chiziq uzunligini 
sxemadan
foydalangan holda topamiz.
kesmada
ixtiyoriy 
qiymatni tanlaymiz va o‘zgaruvchi 
kesmani qaraymiz. Bu kesmada 
kattalik ning funksiyasi bo‘ladi: 
va 
ning kichik 
kattalikka o‘zgarishida 
differensialni topamiz: 
yoyni uni tortib turuvchi vatar bilan
almashtiramiz (14-shakl) va 
ni topamiz:
Demak, 
yoki 
ekanidan
ni 
dan 
gacha
integrallab, topamiz:
(17.8)
(17.8) tenglikka yoy
differensialining to‘g‘ri burchakli koordinatalardagi formulasi deyiladi.
Agar egri chiziq 
tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yuqorida
keltirilganlarni takrorlab, yoy uzunligini hisoblashning quyidagi
formulasini hosil qilamiz:
. (17.9)
Agar egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa,
(8) formulada 
o‘riniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchi almashtiriladi.
Bunda
(17.10)
kelib chiqadi,
bu yerda va .
Misollar
1.. 
yarim kubik
parabolaning 
dan 
gacha yoyi uzunligini
topamiz. Bunda 
dan 
kelib chiqadi.
U holda (8) formula bilan topamiz:
2. 
egri chiziq yoyining o‘q bilan kesishish nuqtalari orasidagi
uzunligini hisoblaymiz. Buning uchun avval
deb egri chiziqning oq bilan kesishish nuqtalarini
aniqlaymiz: 
Hosilani topamiz:
Yoy uzunligini hisoblaymiz:
3. 
tenglama
bilan berigan egri chiziq uzunligini topamiz. Berilgan tenglama astroidani
ifodalaydi.
Astroidaning uzunligini (17.10)
formula bilan topamiz:
3. Aylanish sirti yuzasini hosoblash
egri chiziq 
funksiyaning grafigi bo‘lsin. Bunda 
funksiya
va uning 
hosilasi bu kesmada uluksiz bo‘lsin.
egri chiziqning o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism
sirti yuzasini hisoblaymiz. Buning uchun 
sxemani
qo‘llaymiz.
Istalgan 
nuqta
orqali 
o‘qqa perpendikular tekislik o‘tkazamiz. Bu
tekislik aylanish sirtini radiusi bo‘lgan aylana bo‘ylab kesadi (15-shakl).
Bunda aylanish sirtidan iborat 
kattalik ning funksiyasi bo‘ladi: 
va 
argumentga orttirma beramiz va 
nuqta orqali o‘qqa perpendikular tekislik o‘tkazamiz. Bunda
funksiya «belbog‘»
ko‘rinishida 
orttirma oladi.
Kesimlar orasidagi jismni yasovchisi bo‘lgan va asoslarining radiuslari va 
bo‘lgan kesik
konus bilan almashtiramiz. Bu kesik konusning yon sirti 
ga teng. 
ko‘paytmani 
ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik
sifatida tashlab yuboramiz: 
. Bunda ekanini hisobga olamiz: 
ni dan gacha
integrallab, topamiz:
(17.13)
Shu kabi 
, 
funksiya grafigining o‘q atrofida aylantirshdan hosil bo‘lgan jism
sirtining yuzasi ushbu
(17.14)
formula bilan
hisoblanadi.
Agar sirt parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa,
u holda egri chiziqning 
o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan
jism sirti
yuzasi quyidagicha hisoblanadi:
(17.15)
bu yerda 
va (
va 
).
Misollar
1. Radiusi ga teng bo‘lgan shar sirti yuzaini
hisoblaymiz..Shar parametrik
tenglamasi 
bo‘lgan yarim aylananing o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘ladi.
Sharning koordinata o‘qlariga simmetrik bo‘lishini inobatga olib, hisoblaymiz:
.
2. 
zanjir chizig‘i dan gacha bo‘lagining o‘qi atrofida
aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzasini
hisoblaymiz (16-shakl).
Buning uchun avval
hosilani va 
ifodani topamiz.
U holda (17.13)
formulaga ko‘ra
3. 
parabola bo‘lagining 
to‘g‘ri chiziq bilan
kesilgan qismining 
o‘qi atrofida
aylanishidan hosil bo‘lgan sirt yuzasini
hisoblaymiz (17-shakl). 
Misol shartidan topamiz: 
(17.14)
formula bilan topamiz:
4. Hajmlarni hisoblash
Hajmni ko‘ndalang kesim yuzasi bo‘yicha
hisoblash
Hajmi hisoblanishi lozim bo‘lgan qandaydir jism (13-shakl) uchun uning
istalgan ko‘ndalang kesim yuzasi ma’lum bo‘lsin. Bu yuza ko‘ndalang kesim
joylashishiga bog‘liq bo‘ladi: 
, bu
yerda 
- 
kesmada
uzluksiz
funksiya.
Izlanayotgan hajmni sxema
asosida topamiz.
Istalgan nuqta
orqali o‘qqa perpendikular tekislik o‘tkazamiz. Jismning bu tekislik bilan kesimi
yuzasini bilan va jismning bu tekislikdan chapda yotgan
bo‘lagining hajmini 
bilan
belgilaymiz (18-shakl). Bunda 
kattalik ning funksiyasi bo‘ladi: 
va 
funksiyaning 
differensialini topamiz.
Bu differensial o‘q bilan va 
nuqtalarda kesishuvchi parallel
tekisliklar orasidagi «elementar qatlam» dan
iborat bo‘ladi. Bu differensialni asosi ga va balandligi 
ga teng silindr bilan taqriban almashtirish
mumkin. Demak, 
ni dan gacha
integrallab, izlanayotgan hajmni topamiz:
(17.17)
Misollar
1. 
ellipsoidning hajmini hisoblaymiz.
Ellipsoidning koordinatalar boshidan 
masofada o‘tuvchi o’qqa perpendikulyar tekislik bilan kesamiz.
Kesimda yarim o‘qlari 
va 
bo‘lgan ellips hosil bo‘ladi. Uning yuzasi 
. U holda
2. 
va 
silindrlar bilan
chegaralangan jism hajmini hisoblaymiz.
19-shakda berilgan jismning I
oktantda 
joylashgan sakkizdan
bir bo‘lagi keltirilgan. Uning o‘qqa perpendikular
tekislik bilan kesimi kvadratdan iborat. Kesim abssissasi 
nuqtadan o‘tganda
kvadratning tomonlari 
ga va yuzasi 
teng bo‘ladi, bu yerda 
Jismning hajmni (17.17) formula bilan
hisoblaymiz:
Aylanish
jismlarining hajmini hisoblash
Yuqoridan 
uzluksiz funksiya grafigi bilan, quyidan o‘q bilan, yon tomonlaridan 
va to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri
chiziqli trapetsiyaning o‘q atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jism
hajmini hisoblaymiz. Bu jismning ixtiyoriy ko‘ndalang kesimi doiradan iborat.
Shu sababli jismning 
tekislik bilan kesimining yuzasi 
bo‘ladi.
U holda (17.17) formulaga ko‘ra
(17.18)
Shu kabi yuqoridan uzluksiz funksiya grafigi bilan, quyidan o‘q bilan, yon tomonlaridan va to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri
chiziqli trapetsiyani o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan
jismning hajmi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
(17.19)
Agar egri chiziqli trapetsiya 
uzluksiz funksiya grafigi, o‘qi,
va 
to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan bo‘lsa,
u holda
(17.20)
bo‘ladi.
egri chiziq va 
, 
nurlar bilan
chegaralangan egri chiziqli
sektorning qutb o’qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan
jismning hajmi
(17.21)
formula bilan
topiladi.
Misollar
1.
,
va 
chiziqlar bilan
chegaralangan tekis shaklning
o‘q aylanishidan hosil bo‘lgan jismning
hajmini (18) formula bilan hisoblaymiz:
2. Radiusi ga va balandligi 
ga teng bo‘lgan konusning
hajmini hisoblaymiz. Bunda konusnni
katetlari va bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning
balandlik bo‘ylab yo‘nalgan o‘q atrofida
aylanishidan hosil bo‘lgan jism deyish mumkin (20-shakl). Gipotenuza tenglamasi
bo‘lsin deymiz.
U holda
, 
.
Bundan
3. 
va 
chiziqlar bilan
chegaralangan tekis shaklning 
da to‘g‘ri chiziq
atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmini hisoblaymiz. Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan tekis
shaklning aylanishidan hosil bo‘lgan jism 21-shaklda keltirilgan. Egri chiiq
to‘g‘ri chiziq
atrofida aylangani uchun yangi koordinatalar sistemasiga o‘tish maqsadga
muvofiq bo‘ladi: 
U holda aylanish jismining hajmi
